Förslaget till ny författning, som pressats igenom av det styrande Muslimska brödraskapets parti med president Muhammad Mursi i spetsen, har kritiserats internationellt för att vara för vagt och inte garantera rättigheter för alla egyptier - särskilt kvinnor och religiösa minoriteter.
Enligt företrädare för Mursis parti FJP har ja-sidan fått 56,5 procent medan den egyptiska oppositionen hävdar att folkomröstningen präglats av fusk och att nej-sidan så här långt nått majoritet. Enligt oppositionen har 66 procent av de röstande sagt nej till förslaget om ny författning.
Den andra valomgången hålls om vecka.
Fakta: Krisen och förslaget
Egyptens nya författningsförslag har skyndats fram under den maktkamp som utspelat sig mellan president Muhammad Mursi och rättsväsendet.
Kampen ställdes på sin spets när Mursi den 22 november utfärdade ett dekret som utökade hans maktbefogenheter.
Åtgärderna ledde till den politiska kris som i flera veckor har lamslagit Egypten. Under protester och våldsamma sammandrabbningar har åtta människor dött och hundratals skadats.
Oroligheterna fick Mursi att dra tillbaka maktdekretet.
Förslaget till ny författning ska nu godkännas, eller avslås, genom folkomröstning.
Under lördagen röstade storstäderna Kairo och Alexandria och åtta andra regioner. Den 22 december röstar övriga Egypten.